En 2023, de nombreux étudiants, qu’ils soient à l’université ou en lycée, auront à prouver qu’une suite est arithmétique. Pourtant, cette tâche peut paraître intimidante, car elle implique d’utiliser des notions de mathématiques complexes. Heureusement, c’est en fait une tâche assez simple à compléter, et cet article explique comment procéder.
Définition d’une suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite dont les termes diffèrent les uns des autres par une valeur constante appelée « différence ». Par exemple, la suite (1, 3, 5, 7, 9, 11) est une suite arithmétique car les termes diffèrent les uns des autres de 2. En revanche, la suite (1, 3, 5, 8, 11, 14) n’est pas arithmétique car ses termes diffèrent les uns des autres par une valeur qui change.
Comment prouver qu’une suite est arithmétique ?
Pour prouver qu’une suite est arithmétique, vous devez d’abord déterminer la différence entre les termes de la suite. Pour ce faire, vous devez soustraire le premier terme à chaque terme qui le suit. Si le résultat est toujours le même, alors la suite est arithmétique. Par exemple, en procédant ainsi avec la suite (1, 3, 5, 7, 9, 11), vous obtiendrez toujours 2, ce qui signifie que la suite est arithmétique.
Calculer la différence d’une suite arithmétique
Une fois que vous avez déterminé que la suite est arithmétique, vous pouvez calculer la différence entre les termes. Pour ce faire, vous devez soustraire le premier terme à chaque terme qui le suit. Le résultat est la différence entre les termes de la suite. Dans notre exemple, la différence est 2.
Calculer un terme donné d’une suite arithmétique
Une fois que la différence entre les termes de la suite est connue, il est possible de calculer un terme donné de la suite. Pour ce faire, vous devez simplement ajouter la différence à chaque terme qui le précède. Par exemple, si vous souhaitez trouver le terme suivant le terme 7 dans notre suite (1, 3, 5, 7, 9, 11), vous devez ajouter 2 à 7 pour obtenir 9. Ce terme est donc le cinquième terme de la suite.
Comment prouver qu’une suite n’est pas arithmétique ?
Pour prouver qu’une suite n’est pas arithmétique, vous devez soustraire le premier terme à chaque terme qui le suit et vérifier si le résultat est toujours le même. Si tel n’est pas le cas, la suite n’est pas arithmétique. Par exemple, si vous soustraitiez le premier terme (1) à chaque terme de la suite (1, 3, 5, 8, 11, 14), vous obtiendriez 2, 3, 5, 7 et 9, ce qui signifie que la suite n’est pas arithmétique.
3 exemples de suites arithmétiques
Voici 3 exemples de suites arithmétiques :
- La suite (1, 3, 5, 7, 9, 11) a une différence de 2 entre ses termes.
- La suite (5, 10, 15, 20, 25) a une différence de 5 entre ses termes.
- La suite (0, 4, 8, 12, 16) a une différence de 4 entre ses termes.
Conclusion
Prouver qu’une suite est arithmétique n’est pas aussi difficile qu’il n’y paraît. Il suffit de soustraire le premier terme à chaque terme qui le suit et de vérifier si le résultat est toujours le même. Si tel est le cas, alors la suite est arithmétique. Ensuite, vous pouvez calculer la différence entre les termes de la suite et même calculer un terme donné de la suite. Avec un peu de pratique, vous serez bientôt capable de prouver facilement qu’une suite est arithmétique.